如果在工商银行修改手机号时遇到无可用认证方式的提示，可能的原因和解决方法如下。
1、未绑定手机绑定业务，在这种情况下，需要前往工商银行柜台或在线银行进行手机绑定业务办理，绑定手机后，即可通过短信验证进行业务办理。
2、工商银行系统处于维护更新状态，在此期间，所有业务可能暂时无法办理，可以等待一段时间后再尝试修改手机号。
3、个人账户异常，如果账户出现异常情况，也可能无法进行手机号修改操作，此时需要前往工商银行柜台，查明原因并处理异常情况。
4、未开通账户认证功能，某些工商银行的新业务需要通过账户认证功能来确认身份，如果没有开通此功能，也可能无法进行手机号修改操作，此时需要前往柜台或在线开通账户认证功能。
还可以尝试以下方法解决该问题：
1、线下操作：可直接前往工商银行柜台，告知工作人员需要修改手机号，并携带有效身份证件和银行卡进行办理，工作人员会指导完成相关手续。
2、在线客服咨询：可以登录工商银行网上银行或手机银行，在客服中心或帮助中心中寻找关于修改手机号的常见问题解答和帮助，如果遇到了无法解决的问题，可以联系在线客服进行咨询和解决。
仅供参考，建议直接联系工商银行客服获取准确信息和帮助。
